ordinaryüs

OLASILIK


A. TANIM

Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır.



B. OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.



A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.






C. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.



Ü 1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.

3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,

P(A È B) = P(A) + P(B) dir.



Ü 1)

2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

3) tümleyeni olmak üzere,



4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,(E = A È B È C)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir.



Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n dir.

2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6ndir.



D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.

Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.



E. KOŞULLU OLASILIK

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.



Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun. Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

Kaynak:torpil.com

ordinaryüs

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM


I. PERMÜTASYON

A. SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.

2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.



B. FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.

0! = 1 olarak tanımlanır.

1! = 1

2! = 1 . 2

.................

.................

.................

n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n

Ü n! = n . (n – 1)!

Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.

Ü n . n! = (n + 1)! – n!



C. TANIM

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,





Ü 1) P(n, n) = n!

2) P(n, 1) = n

3) P(n, n – 1) = n! dir.



D. TEKRARLI PERMÜTASYON

n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.

n = n1 + n2 + n3 + ... + nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,





E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir.



n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının

sayısı : (n > 2)





II. KOMBİNASYON

TANIM

r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı


Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.








Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:





Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;

a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.

Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı

noktada kesişirler.

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.



Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.



Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim

noktası vardır.



III. BİNOM AÇILIMI

A. TANIM

n Î IN olmak üzere,



ifadesine binom açılımı denir.

Burada;



sayılarına binomun kat sayıları denir.



ifadelerinin her birine terim denir.

ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.


B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ

1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;

baştan (r + 1). terim :

sondan (r + 1). terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.




Ü n Î N+ olmak üzere,

(x + y)2n nin açılımında ortanca terim





Ü n Î IN+ olmak üzere,

açılımındaki sabit terim,



ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.



Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.



Ü (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;

ordinaryüs

EŞİTSİZLİKLER


A. TANIM

f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0 ifadelerine fonksiyonların eşitsizliği denir.

Bu eşitsizlikleri sağlayan sayıların oluşturduğu kümeye de eşitsizliğin çözüm kümesi denir.



B. BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

m ¹ 0 olmak üzere, f(x) = mx + n koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir doğru belirtir.









C. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

f(x) = ax2 + bx + c koşulunu sağlayan noktalar analitik düzlemde bir parabol belirtir.


1) D > 0 ise,








2) D = 0 ise,








3) D < 0 ise,








1) f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a > 0 dır.

2) f(x) = ax2 + bx + c < 0 ın çözüm kümesi bütün gerçel sayılar ise, D < 0 ve a < 0 dır.

3) a < 0 ve D < 0 ise,

f(x) = ax2 + bx + c > 0 ın çözüm kümesi boş kümedir.




Ü Polinom fonksiyonlarından oluşan rasyonel fonksiyonların eşitsizliği incelenirken aşağıdaki 5 adım izlenerek çözüm kümesi bulunur. Bu, bütün eşitsizliklerde uygulanabilen pratik bir çözüm yoludur.

1. Adım : Verilen ifadedeki her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

2. Adım : Bulunan bu kökler sayı doğrusunda sıralanır.

3. Adım : Sistemin işareti bulunur.

Sistemin işareti; her çarpandaki en büyük dereceli değişkenlerin katsayılarının çarpımının işaretidir.

4. Adım : Bulunan bu işaret, tablonun en sağındaki kutuya yazılır.

5. Adım : Tablodaki diğer kutular sırayla sola doğru doldurulur.

Tek katlı kökün soluna sağındaki işaretin zıttı, çift katlı kökün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.



Ü Çift katlı köklerde grafik Ox eksenine teğet olduğundan eğri, o noktada da işaret değiştirmez.





(x + 1)100 = 0 Ş x = – 1 çift katlı köktür.

(x – 1)99 = 0 Ş x = 1 tek katlı köktür.



Ü çözüm kümesine;


P(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınır,

Q(x) = 0 ı sağlayan x değerleri alınmaz.



Ü çözüm kümesine;


P(x) = 0

Q(x) = 0

sağlayan x değerleri alınmaz.



D. EŞİTSİZLİK SİSTEMİ

İki ya da daha fazla eşitsizliğin oluşturduğu sisteme eşitsizlik sistemi denir.

Bir eşitsizlik sistemindeki eşitsizlikleri birlikte sağlayan değerlerin oluşturduğu kümeye eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir.

Eşitsizlik sisteminde her eşitsizliğin çözüm aralığı ayrı ayrı bulunur. Bu aralıkların kesişim kümesi sistemin çözüm kümesidir.



Ü f(x) > 0 ın çözüm kümesi Ç1 ve

g(x) £ 0 ın çözüm kümesi Ç2 ise

sisteminin çözüm kümesi

Ç1 Ç Ç2 dir.



E. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİNİN İŞARETLERİNİN İNCELENMESİ

f(x) = ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 olsun.

D = b2 – 4ac olmak üzere aşağıdaki tabloyu yazabiliriz.






F. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN KÖKLERİNİN BİR

GERÇEL SAYI İLE KARŞILAŞTIRILMASI

f(x) = ax2 + bx + c = 0 denkleminin gerçel kökleri x1 ve x2 (x1 < x2) olmak üzere, k gerçel sayısı ile x1 ve x2 nin karşılaştırılması ile ilgili bilgileri aşağıdaki tabloda verelim.

ordinaryüs

İKİNCİ ve ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER


A. TANIM

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.



B. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.



2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax2 + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi




ax2 + bx + c = 0

denkleminde, D = b2 – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır.

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.




Ü ax2 + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.



C. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

BAĞINTILAR

ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise,













D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem;

(x – x1) (x – x2) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 olur.



Ü ax2 + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.

Kökleri mx1 + n ve mx2 + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerine

yazılarak bulunur.



Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,





Ü ax2 + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

ax2 + bx + c = dx2 + ex + f

(a – d)x2 + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.



ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax3 + bx2 + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.



B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT SAYILARI ARASINDAKİ

BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2 ve x3 olsun. Buna göre,









C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem

(x – x1) (x – x2) (x – x3) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3 = 0 olur.



Ü ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun.



1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x1 + x3 = 2x2 dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,




3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

x1 = x2 = x3 tür.

Ü n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

anxn + an – 1xn – 1 + ... + a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :


Kökleri çarpımı :

ordinaryüs

PARABOL


A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.





İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.





Parabol, düzgün tel parçasının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.





B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,



Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.







doğrusu parabolün simetri eksenidir.



y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.




C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.






Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

• D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.

• D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.

• D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.



D. x2 NİN KAT SAYISI OLAN a NIN İŞARETİ


1)
a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.




2)
a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.




3)
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin kat sayısı, g deki x2 nin kat sayısından büyüktür.




Ü f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.



E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa







y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.



2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa





y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.



3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa




y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)

y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)

y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.



F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile

y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... («)



(«) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, («) denkleminde;

• D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.

• D < 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.

• D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.



Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

ordinaryüs

POLİNOMLAR


A. TANIM

n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, ... , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.



B. TEMEL KAVRAMLAR

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

Ü a0, a1, a2, ... , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

Ü a0, a1x, a2x2, ... , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.

Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir.

Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve

der [p(x)] ile gösterilir.

Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

Ü a0 = a1 = a2 = ... = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = ... an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir fonksiyondur. Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir.

Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.




C. ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.



D. POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.



Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.



Herhangi bir polinomda; kat sayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.

P(ax + b) polinomunun; kat sayıları toplamı

P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.




Ü P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:



Tek dereceli terimlerinin kat sayıları toplamı:





E. POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ...

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + ...

olmak üzere,



P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + ...

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + ...

olur.



2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.



3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,





P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.



Ü P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

Ü der [K(x)] < der [Q(x)]

Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]



Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

1) Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.

2) Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.

3) Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.

4) Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.

5) Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.



F. KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.



1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine yazılır.

• P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.

• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan





2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n ... (1)

P(c) = mc + n ... (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.




3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

• P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölümünden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.



4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+, n > 1)




......................

......................

......................




(P'(x) : P(x) polinomunun 1. türevidir.)



P(x) = axn + bxm + d ise,

Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0

Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn–2 + b . m(m –1).xm–2 dir.




P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,

P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan

K(x) = (x – a) k2 + k1 olur.




G. BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,



eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.



Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen de yazılır.



Aynı işlemler B için de yapılır. Buna göre,






H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

1) der[P(x) ± Q(x)] = m dir.

2) der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.

3) P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm polinomu B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.

4) k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.

5) der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

ordinaryüs

MODÜLER ARİTMETİK


MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.


Ü
ise a º b (mod m)

a = b + mk, k Î Z



Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları



Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir.

Buna göre,

Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)

c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)

2) a – c º b – d (mod m)

3) a . c º b . d (mod m)

4) an º bn (mod m)

5) a – b º 0 (mod m)

6) k . a º k . b (mod m) dir.

7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise

a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.



Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.




Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi

m = ak . b r . c p ve

xT º 1 (mod m) dir.

Ü m asal sayı ise, (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.














baglanti egitim-baglantisi-1 egitim-baglantisi-2 egitim-baglantisi-3 egitim baglantisi-1 egitim baglantisi-2 egitim baglantisi-3 eğitim içerikleri eğitim içerikleri2

imposibıl

paylaşımlar için teşekkürler

ordinaryüs

İŞLEM


A. TANIM

Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.



İşlemler; + , – , : , x, D, m, q, « gibi simgelerle gösterilir.






B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

A kümesinde ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.



1. Kapalılık Özeliği

" a, b Î A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır. (" : Her)



2. Değişme Özeliği

" a, b Î A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır.



3. Birleşme Özeliği

" a, b, c Î A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır.



4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

" x Î A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir.

e Î A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.



5. Ters Eleman Özeliği

işleminin etkisiz elemanı e olsun.

" a Î A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir.

a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

b Î A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.



• Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

• Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.




6. Dağılma Özeliği

" a, b, c Î A için,

a « (b c) = (a « b) (a « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

(a b) « c = (a « c) (b « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.



« işleminin işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özeliği varsa « işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.




7. Yutan Eleman Özeliği

" x Î A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir.

y Î A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.



Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.




C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER

A = {a, b, c, d} kümesinde D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.



Ü b D c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b D c nin sonucudur. Buna göre, b D c = a dır.

Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi D işlemine göre kapalıdır.

Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, D işleminin değişme özeliği vardır.

Ü Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır.

Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.



D. MATEMATİK SİSTEMLER

1. Tanım

A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.

(A, «) ikilisine matematik sistem denir.



2. Grup

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

I) A, « işlemine göre kapalıdır.

II) A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır.

III) A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

IV) A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.



A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.



3. Halka

A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

I) (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

II) A kümesi « işlemine göre kapalıdır.

III) « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır.


Ü « işleminin değişme özeliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır.

Ü « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir.

ordinaryüs

FONKSİYON


A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.

" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.




Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.



* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

I) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

II) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.

* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.



B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR

g : B ® IR

olmak üzere,

I) f ± g: A Ç B ® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

II) f . g: A Ç B ® IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

III)






C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

* s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı






2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

* f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.



3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.



4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

* Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.



5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

* "x Î A ve c Î B için

f : A ® B

f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.



6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.



D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.



E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir.



F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.







* Uygun koşullarda, f(a) = b * f – 1(b) = a dır.

* f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise,

*





* (f – 1) – 1 = f dir.

* (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.

*> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.



* B Ì IR olmak üzere,



f(x) = ax2 + bx + c ise,





* B Ì IR olmak üzere,



f(x) = ax2 + bx + c ise,





G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.



2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri

I) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

fog ¹ gof



Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez.




II) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

III) foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

IV) fof – 1 = f – 1of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

V) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.